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球坐标旋度公式推导

来源:www.chajian68.com 时间:2024-06-11 19:33:49 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

  在物理学中,旋度是描述量场旋转的一种量度来自www.chajian68.com。球坐标系是一种常用的坐标系,因球坐标旋度公式的推导有重要的理论意义和应用值。

球坐标旋度公式推导(1)

一、球坐标系的基本概

  球坐标系是一种三维坐标系,由径向距 $r$、极角 $\theta$ 和方位角 $\phi$ 三个参数来描述空间中的任意一点www.chajian68.com大强公式网。其中,$r$ 表示点到坐标系原点的距,$\theta$ 表示点与 $z$ 轴的夹角,$\phi$ 表示点在 $xy$ 平面上的影点与 $x$ 轴正半轴的夹角。

球坐标旋度公式推导(2)

二、量场的旋度

  量场是指在空间中每一点都有一个量与之对应的场大强公式网www.chajian68.com。旋度是描述量场旋转的一种量度,是一个量,表示量场在某一点的旋转强度和旋转方向。设 $\vec{F}$ 表示量场,旋度 $\nabla \times \vec{F}$ 的表达式为:

$$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$$

  其中,$\hat{i}$、$\hat{j}$、$\hat{k}$ 分别表示 $x$、$y$、$z$ 轴上的单位www.chajian68.com大强公式网。$\frac{\partial}{\partial x}$、$\frac{\partial}{\partial y}$、$\frac{\partial}{\partial z}$ 分别表示对 $x$、$y$、$z$ 坐标的偏导数。

球坐标旋度公式推导(3)

三、球坐标系下的旋度公式推导

  在球坐标系下,量场 $\vec{F}$ 的三个分量为 $F_r$、$F_\theta$、$F_\phi$qls。根据链式法则,可以得到:

  $$\begin{aligned} \frac{\partial F_x}{\partial x} &= \frac{\partial F_r}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} + \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ &= \frac{\partial F_r}{\partial r} \sin \theta \cos \phi + \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} - \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \frac{\sin \phi}{r \sin \theta} \end{aligned}$$

  同理,可以得到:

$$\begin{aligned} \frac{\partial F_y}{\partial y} &= \frac{\partial F_r}{\partial r} \sin \theta \sin \phi + \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} \frac{\cos \theta \sin \phi}{r} + \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \frac{\cos \phi}{r \sin \theta} \\ \frac{\partial F_z}{\partial z} &= \frac{\partial F_r}{\partial r} \cos \theta - \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} \frac{\sin \theta}{r} \end{aligned}$$

  将上式代入旋度公式中,得到:

  $$\begin{aligned} \nabla \times \vec{F} &= \begin{vmatrix} \hat{r} & \hat{\theta} & \hat{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \\ F_r & r F_\theta & r \sin \theta F_\phi \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \begin{vmatrix} \hat{r} & \hat{\theta} & \hat{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\ r F_\phi \sin \theta & F_r & r F_\theta \end{vmatrix} \\ &= \frac{1}{r^2 \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} (F_\phi \sin \theta) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi} \right] \hat{r} \\ &+ \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial r} (r F_\phi) \right] \hat{\theta} \\ &+ \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} (r F_\theta) - \frac{1}{r} \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \hat{\phi} \end{aligned}$$

  这就是球坐标系下的旋度公式。

四、结论

  球坐标系下的旋度公式是一种重要的量场旋转描述方法,可以用于描述空间中各种物理量的旋转大_强_公_式_网。在物理学、工程学、球物理学等领域中都有广泛的应用。

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