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三角函数的运算公式

来源:www.chajian68.com 时间:2024-06-09 06:14:57 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

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三角函数的运算公式(1)

  三角函数是数学中的分支,它是研究角和三角形的性质的数学工具大 强 公 式 网。三角函数许多运算公式些公式在解决三角函数问题时非常用。本文将介绍三角函数的运算公式及其应用大+强+公+式+网

1. 基本三角函数公式

  (1)正弦函数公式

  正弦函数是指在直角三角形中,对于某个角,其对边斜边的比值。正弦函数的运算公式如下:

  $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

(2)余弦函数公式

  余弦函数是指在直角三角形中,对于某个角,其邻边斜边的比值来源www.chajian68.com。余弦函数的运算公式如下:

  $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

  $$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

  (3)正切函数公式

  正切函数是指在直角三角形中,对于某个角,其对边邻边的比值。正切函数的运算公式如下:

  $$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

  $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

2. 三角函数的倍角公式

  三角函数的倍角公式是指将来的角扩大为来的两倍大.强.公.式.网。三角函数的倍角公式如下:

  $$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$

$$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$

三角函数的运算公式(2)

3. 三角函数的半角公式

  三角函数的半角公式是指将来的角来的一半。三角函数的半角公式如下:

  $$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$

  $$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}$$

4. 三角函数的和差公式

  三角函数的和差公式是指将两个角相加或相减后,再求其三角函数值chajian68.com。三角函数的和差公式如下:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

  $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

  $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

  $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

三角函数的运算公式(3)

5. 三角函数的积化和差公式

  三角函数的积化和差公式是指将两个三角函数相乘后,再化为和差的形式。三角函数的积化和差公式如下:

  $$\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$$

$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$$

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$$

  $$\tan\alpha\tan\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}$$

6. 应用举例

  (1)求$\sin75^{\circ}$的值

  $$\sin75^{\circ}=\sin(45^{\circ}+30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}$$

  $$=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$

  (2)求$\cos\frac{\pi}{8}$的值

  $$\cos\frac{\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{4}\div\cos\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2}}{2}\div\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

  (3)求$\tan\frac{3\pi}{8}$的值

  $$\tan\frac{3\pi}{8}=\tan\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{8}=\frac{1+1}{1-1\times1}+\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$$

综上所述,三角函数的运算公式是解决三角函数问题的工具原文www.chajian68.com。掌握些公式可以帮助们更好地理解三角函数的性质,并且在解决实际问题时也非常用。

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