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柯西积分公式证明及其应用——最大模原理

来源:www.chajian68.com 时间:2024-06-09 12:23:52 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

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柯西积分公式证明及其应用——最大模原理(1)

引言

  柯西积分公式是复分析中的重定理,它将函数在一闭合曲线内的积分与该曲线内部的函数值联系起来来源www.chajian68.com。最大模原理是基于柯西积分公式的一应用,它在复分析中有着广泛的应用。

柯西积分公式的证明

柯西积分公式是指:设$D$是一有界开集,$f(z)$在$D$内解析,$C$是$D$内一条正长曲线,有$$\int_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^nRes(f,a_k),$$其中$a_1,a_2,\cdots,a_n$是$f(z)$在$D$内的孤立奇点大.强.公.式.网

柯西积分公式的证明可以分为两部分:

  1. 当$C$是简单闭曲线时,$C$不交,且不穿过任何一孤立奇点$a_k$时,有$$\int_Cf(z)dz=0.$$这结论可以通过对$C$的每一条小弧应用柯西积分定理证明。

  2. 当$C$是一般的闭曲线时,$C$可以交或穿过孤立奇点时,有$$\int_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^nRes(f,a_k).$$这结论可以通过将$C$分成简单闭曲线的和来证明大强公式网www.chajian68.com

最大模原理的应用

最大模原理是指:设$f(z)$在区域$D$内解析,且在$D$内不取零值,$f(z)$的模在$D$内没有极大值。这结论可以通过反证法证明大强公式网www.chajian68.com

  最大模原理在复分析中有着广泛的应用,下面介绍两型的应用:

  1. 唯一性定理:设$f(z)$和$g(z)$在区域$D$内解析,且在$D$内相等,在$D$内$f(z)$和$g(z)$完全相同。这定理可以通过定义辅助函数$h(z)=f(z)-g(z)$,并应用最大模原理证明大_强_公_式_网

  2. Liouville定理:设$f(z)$在整复平面上解析,并且在复平面上有界,$f(z)$必定是一数。这定理可以通过定义辅助函数$g(z)=e^{f(z)}$,并应用最大模原理证明www.chajian68.com大强公式网

柯西积分公式证明及其应用——最大模原理(2)

结论

  柯西积分公式是复分析中的重定理,它将函数在一闭合曲线内的积分与该曲线内部的函数值联系起来。最大模原理是基于柯西积分公式的一应用,它在复分析中有着广泛的应用欢迎www.chajian68.com

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