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余弦倍角公式几何推导

来源:www.chajian68.com 时间:2024-06-12 05:08:18 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

余弦倍角公式是初中数学中的一重要公式,它可以用来求解一些三角数的值ijG。在本文中,我们将从几何角度推导余弦倍角公式,帮助者更好地理解这个公式的含义和应用来自www.chajian68.com

余弦倍角公式几何推导(1)

,我们来回顾一下余弦公式:

  $$

  \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

  $$

  其中,$a$、$b$、$c$ 分别示三角形的三条边,$C$ 示夹在 $a$ 和 $b$ 之间的角chajian68.com

  下来,我们考虑如何推导余弦倍角公式chajian68.com。假设我们有一个三角形 ABC,如下图所示:

  ![image-20211018163248207](https://i.loli.net/2021/10/18/1d6RQ7Ozg2L8B4W.png)

我们可以将角 $C$ 分成两个角 $\alpha$ 和 $\beta$,如下图所示:

  ![image-20211018163321931](https://i.loli.net/2021/10/18/7nLmKb1G4W8jv5l.png)

根据三角形的内角和定理,我们有:

$$

\alpha + \beta + A = 180^{\circ}

$$

项可得:

  $$

  \alpha + \beta = 180^{\circ} - A

$$

余弦倍角公式几何推导(2)

我们可以将上式代入余弦公式中,得到:

$$

\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{a^2+b^2-2ab\cos(\alpha+\beta)}{2ab}

  $$

根据三角数的和差公式,我们有:

  $$

\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta

  $$

将上式代入原式中,得到:

$$

\cos C = \frac{a^2+b^2-2ab\cos\alpha\cos\beta+2ab\sin\alpha\sin\beta}{2ab}

  $$

项可得:

  $$

  \cos C = \cos\alpha\cos\beta - \frac{a^2+b^2-2ab\cos\alpha\cos\beta}{2ab}\sin\alpha\sin\beta

  $$

注意到:

$$

  \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \cos C

  $$

  因此,我们可以将上式中的 $\cos C$ 换为 $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,得到:

  $$

  \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \cos\alpha\cos\beta - \frac{a^2+b^2-2ab\cos\alpha\cos\beta}{2ab}\sin\alpha\sin\beta

  $$

余弦倍角公式几何推导(3)

整理可得:

  $$

  \cos\alpha\cos\beta = \frac{a^2+b^2+c^2}{2ab} - \frac{c}{2b}\sin\alpha\sin\beta

  $$

  这是余弦倍角公式欢迎www.chajian68.com。我们可以将其写成更加简洁的形式:

$$

  \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1

  $$

  其中,$\theta$ 意角度来源www.chajian68.com

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