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极坐标中的韦达定理

来源:www.chajian68.com 时间:2024-06-11 09:26:31 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

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极坐标中的韦达定理(1)

  极坐标是一种述平面上点的坐标系,它使用极径和极角来表示点的位置。极径表示点到原点的距离,极角表示点与正半轴的夹角欢迎www.chajian68.com。在极坐标系中,有一重要的定理,就是韦达定理。

韦达定理是极坐标系中向量叉积的定理。它的表达式为:

  $$\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{d}{d\theta}(r^2\dot{\theta})d\theta = r^2\dot{\theta}\bigg|_{\theta_1}^{\theta_2}$$

  其中,$r$表示极径,$\theta$表示极角,$\dot{\theta}$表示极角的变化率,即角速度原文www.chajian68.com。$d\theta$表示极角的微小变化量。

  韦达定理的意义是,对于一个向量在极坐标系中的叉积,其于向量在极坐标系中极角方向的分量的积分。换句话说,它述了向量在极坐标系中的角动量守恒来源www.chajian68.com

韦达定理的证可以通过向量叉积的定义来进行。向量叉积的定义是:

  $$\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}$$

其中,$\vec{a}$和$\vec{b}$是两个向量,$\theta$是它们之间的夹角,$\hat{n}$是它们之间的法向量。

  将向量$\vec{a}$和$\vec{b}$表示为极坐标系下的向量:

  $$\vec{a} = a_r\hat{r} + a_{\theta}\hat{\theta}$$

  $$\vec{b} = b_r\hat{r} + b_{\theta}\hat{\theta}$$

其中,$\hat{r}$和$\hat{\theta}$是极坐标系下的单位向量,$a_r$和$b_r$是向量在$r$方向上的分量,$a_{\theta}$和$b_{\theta}$是向量在$\theta$方向上的分量原文www.chajian68.com

将向量叉积的定义代入上式,得到:

  $$\vec{a}\times\vec{b} = (a_r\hat{r} + a_{\theta}\hat{\theta})\times(b_r\hat{r} + b_{\theta}\hat{\theta})$$

  $$= a_rb_{\theta}\hat{n} + a_{\theta}b_r\hat{n} + a_{\theta}b_{\theta}\sin\theta\hat{n}$$

  其中,$\hat{n}$是极坐标系下的法向量,$\sin\theta$是向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角的正弦值。

  将向量$\vec{a}$和$\vec{b}$表示为极坐标系下的坐标形式:

$$\vec{a} = (a_r\cos\theta + a_{\theta}\sin\theta)\hat{r} + (-a_r\sin\theta + a_{\theta}\cos\theta)\hat{\theta}$$

  $$\vec{b} = (b_r\cos\theta + b_{\theta}\sin\theta)\hat{r} + (-b_r\sin\theta + b_{\theta}\cos\theta)\hat{\theta}$$

极坐标中的韦达定理(2)

将向量叉积的坐标形式代入上式,得到:

  $$\vec{a}\times\vec{b} = (a_rb_{\theta} - b_ra_{\theta})\hat{n} + (a_{\theta}b_r - b_{\theta}a_r)\hat{z}$$

  其中,$\hat{z}$是极坐标系下的垂直于平面的单位向量。

极坐标中的韦达定理(3)

将向量叉积的结果在极坐标系下表示,得到:

$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_rb_{\theta} - b_ra_{\theta})\hat{\theta} + (a_{\theta}b_r - b_{\theta}a_r)\hat{r}$$

  将上式中的$a_r$和$b_r$表示为$r$,$a_{\theta}$和$b_{\theta}$表示为$r\dot{\theta}$,得到:

  $$\vec{a}\times\vec{b} = r^2\dot{\theta}\hat{\theta} + \frac{1}{r}(a_{\theta}b_r - b_{\theta}a_r)\hat{r}$$

  将上式中的$a_{\theta}b_r - b_{\theta}a_r$表示为$r\frac{d}{d\theta}(a_{\theta}b_r)$,得到:

  $$\vec{a}\times\vec{b} = r^2\dot{\theta}\hat{\theta} + \frac{d}{d\theta}(r^2a_{\theta}b_r)\hat{r}$$

  将向量叉积的结果在极坐标系下的坐标形式代入韦达定理的表达式中,得到:

  $$\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{d}{d\theta}(r^2\dot{\theta})d\theta = r^2\dot{\theta}\bigg|_{\theta_1}^{\theta_2}$$

证毕欢迎www.chajian68.com

  韦达定理是述极坐标系中向量叉积的定理,它述了向量在极坐标系中的角动量守恒。在物理学中,韦达定理被泛应用于述旋转运动和角动量守恒。

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