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探究三角形比值公式的应用与推导

来源:www.chajian68.com 时间:2024-04-22 14:37:25 作者:大强公式网 浏览: [手机版]

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探究三角形比值公式的应用与推导(1)

三角形比值公式数学的一个重要识点,它在解决三角形相关问题了重要的Tor。本文将从三角形比值公式的定义、应用以及推导等方面进行探究大.强.公.式.网

一、三角形比值公式的定义

三角形比值公式指在一个三角形,三条边与三个内角的比值之间的关系大_强_公_式_网。具体来说,对于任一个三角形ABC,设AB=c,AC=b,BC=a,∠A=x,∠B=y,∠C=z,则有以下三个比值公式:

  1.弦定理:$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

  2.余弦定理:$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$,$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$,$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

3.切定理:$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$,$\tan B=\dfrac{\sin B}{\cos B}$,$\tan C=\dfrac{\sin C}{\cos C}$

二、三角形比值公式的应用

  1.求三角形的边长

  通过弦定理可以求出三角形的边长,例如已一个三角形的一个角和对边的长度,可以通过弦定理求出另外条边的长度chajian68.com

  2.求三角形的面积

通过弦定理可以求出三角形的面积,例如已一个三角形的条边和夹角,可以通过弦定理求出三角形的面积来自www.chajian68.com

3.判断三角形的形状

  通过余弦定理可以判断三角形的形状,例如当一个三角形的三条边满足a=b=c时,可以判断这个三角形为等边三角形欢迎www.chajian68.com

探究三角形比值公式的应用与推导(2)

三、三角形比值公式的推导

1.弦定理的推导

对于任一个三角形ABC,设AB=c,AC=b,BC=a,∠A=x,∠B=y,∠C=z,则有以下个向量:

$\overrightarrow{u}=c\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{AC}$

  则$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{BC}$

  据向量积的定义,有$\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=ab\sin C\overrightarrow{BC}$

$\because\overrightarrow{u}=c\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{AC}$

  $\therefore\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}=cb\sin A\overrightarrow{BC}$

$\therefore ab\sin C=cb\sin A$

  $\therefore\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

  2.余弦定理的推导

  对于任一个三角形ABC,设AB=c,AC=b,BC=a,∠A=x,∠B=y,∠C=z,则有以下个向量:

  $\overrightarrow{u}=c\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{AC}$

则$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=a\overrightarrow{BC}$

$\because\overrightarrow{u}=c\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{v}=b\overrightarrow{AC}$

  $\therefore|\overrightarrow{u}|^2=c^2$,$|\overrightarrow{v}|^2=b^2$

  $\therefore|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}|^2=a^2$

  $\therefore|\overrightarrow{u}|^2+|\overrightarrow{v}|^2+2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=a^2$

$\therefore c^2+b^2-2cb\cos A=a^2$

  同理可得$b^2+a^2-2ab\cos C=c^2$,$a^2+c^2-2ac\cos B=b^2$

  3.切定理的推导

据定义,$\tan A=\dfrac{\sin A}{\cos A}$

弦定理和余弦定理代入,有$\tan A=\dfrac{a\sin A}{a\cos A}=\dfrac{a\sin A}{b}$

  同理可得$\tan B=\dfrac{b\sin B}{a}$,$\tan C=\dfrac{c\sin C}{a}$

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